Question

已知圆柱OO₁底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO₁逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B₁C₁与曲线Γ相交于点P．
（1）求曲线Γ长度；
（2）当θ=

π

2

时，求点C₁到平面APB的距离；
（3）是否存在θ，使得二面角D-AB-P的大小为

π

4

？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，从而可求曲线Γ长度；
（2）当θ=

π

2

时，点B₁恰好为AB的中点，所以P为B₁C₁中点，故点C₁到平面APB的距离与点B₁到平面APB的距离相等．
（3）由于二面角D-AB-B₁为直二面角，故只要考查二面角P-AB-B₁是否为

π

4

即可．

解答：解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．
由于AB=πr=π，AD=π，所以这实际上是一个正方形．
所以曲线Γ的长度为BD=

2

π．
（2）当θ=

π

2

时，点B₁恰好为AB的中点，所以P为B₁C₁中点，
故点C₁到平面APB的距离与点B₁到平面APB的距离相等．
连接AP、BP，OP．
由AB⊥B₁P且AB⊥A₁B₁知：AB⊥平面APB，从而平面A₁B₁P⊥平面APB．
作B₁H⊥OP于H，则B₁H⊥平面APB，所以B₁H即为点B₁到平面APB的距离．
在Rt△OB₁P中，OB1=1，B1P=

BB1

=

π

2

，
所以OP=

12+( π 2 )2

=

π2+4

2

．
于是：B1H=

OB1×B1P

OP

=

1× π 2

π2+4 2

=

π

π2+4

．
所以，点C₁到平面APB的距离为

π

π2+4

．
（3）由于二面角D-AB-B₁为直二面角，故只要考查二面角P-AB-B₁是否为

π

4

即可．
过B₁作B₁Q⊥AB于Q，连接PQ．
由于B₁Q⊥AB，B₁P⊥AB，所以AB⊥平面B₁PQ，所以AB⊥PQ．
于是∠PQB₁即为二面角P-AB-B₁的平面角．
在Rt△PB₁Q中，B1Q=sinθ，B1P=

BB1

=θ．
若∠PQB1=

π

4

，则需B₁P=B₁Q，即sinθ=θ．
令f（x）=sinx-x（0＜x＜π），则f′（x）=cosx-1＜0，
故f（x）在（0，π）单调递减．
所以f（x）＜f（0）=0，即sinx＜x在（0，π）上恒成立．
故不存在θ∈（0，π），使sinθ=θ．
也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D-AB-B₁为

π

4

．

点评：本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．