Question

（03年北京卷文）（15分）

如图，A₁，A为椭圆的两个顶点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点.

   （Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；

   （Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P₁两点，直线

         A₁P与AP₁交于点M.

   求证：点M在双曲线上.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：由图可知,

该椭圆的方程为

准线方程为

（Ⅱ）证明：设K点坐标,点P、P₁的坐标分别记为，

          其中则……① 直线A₁P，P₁A的方程分别为：

……② ……③

②式除以③式得化简上式得代入②式得

于是，直线A₁P与AP₁的交点M的坐标为

因为

所以，直线A₁P与AP₁的交点M在双曲线.