Question

（本小题满分12分）
已知函数,,设．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m,使得函数的图像与函数的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1) 的单调递减区间为，单调递增区间为。
(2)
(3) 当时，的图象与的图象恰有四个不同的交点

试题分析：解：（I），
∵，由，∴在上单调递增。
由，∴在上单调递减。
∴的单调递减区间为，单调递增区间为。
（II），
恒成立
当时，取得最大值。
∴，∴
（III）若的图象与的图象恰有四个不同得交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。
令，
则
当x变化时，、的变化情况如下表：

x
的符号	＋	－	＋	－
的单调性

由表格知：，
画出草图和验证可知，当时，与恰有四个不同的交点。
∴当时，的图象与的图象恰有四个不同的交点。
点评：解决该试题的关键是能结合导数的符号判定函数单调性，以及函数的最值，进而得到求解。同时对于方程根的问题，转换为图像与x轴的交点个数来处理，属于中档题。