题目内容

已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈［0，］.求：

(1)a·b及|a+b|;

(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-，求λ的值.

解：(1)a·b=cosx·cos-sinx·sin=cos2x,

    |a+b|=

    ==2.

    ∵x∈［0，］，∴cosx＞0.

    ∴|a+b|=2cosx.

    (2)f(x)=cos2x-4λcosx,即f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.

    ∵x∈［0,］，∴0≤cosx≤1.

    ①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾.

    ②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2，由已知得-1-2λ2=-,解得λ=.

    ③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1-4λ.由已知得1-4λ=-，解得λ=.这与λ＞1相矛盾.综上所述，λ=为所求.

练习册系列答案
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已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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