题目内容

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．
分析：（1）根据向量数量积的坐标公式，计算出向量
a
与
b
的数量，再通过三角函数公式化简得这个数量积等于零，从而得到向量
a
与向量
b
互相垂直；
（2）根据向量数量积的坐标公式，先得出f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-
3
sinθ，再通过二倍角的三角函数公式进行化简，得到f(θ)2cos(θ+
π
3
)，最后根据θ∈（0，π），可以得出函数f（θ）的值域．
解答：解：（1）根据数量积的坐标运算公式，得
a
•
b
=(cosθ，sinθ)•(-2sin2θ，2sinθcosθ)
=-2sin2θcosθ+2sin2θcosθ=0    
所以 
a
⊥
b

（2）根据数量积的坐标运算公式，得
f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-
3
sinθ
=cosθ-
3
sinθ=2cos(θ+
π
3
)
∴θ∈（0，π），
∴
π
3
＜θ+
π
3
＜
4π
3
，
∴f（θ）的值域为：[-2，1）．
点评：本题着重考查了平面向量的数量积和三角函数的综合，属于中档题．准确运用向量数量积的公式和三角函数有关公式结合三角函数的图象与性质，是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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