Question

已知向量

a

=(cosωx-sinωx，sinωx)，

b

=(-cosωx-sinωx，2

3

cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=

a

•

b

+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(

π

4

，0)，求函数y=f（x）在区间[0，

5π

12

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先化简f（x）为一角、一函数的形式：f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，然后由最小正周期可得ω=1，令2x-

π

6

=kπ+

π

2

可得图象的对称轴；
（Ⅱ）先由函数图象过点(

π

4

，0)，得λ值，然后由x∈[0，

5π

12

]，可逐步求得f（x）的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

+λ=（cosωx-sinωx）•（-cosωx-sinωx）+2

3

sinωxcosωx+λ
=（-sinωx）²-（cosωx）²+

3

sin2ωx+λ
=-cos2ωx+

3

sin2ωx+λ
=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
因为f（x）的最小正周期为π，所以ω=1，则f（x）=2sin（2x-

π

6

）+λ，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

得，x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
所以函数y=f（x）的图象的对称轴为：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z；
（Ⅱ）由y=f（x）的图象经过点(

π

4

，0)，得f（

π

4

）=0，即2sin（2×

π

4

-

π

6

）+λ=0，解得λ=-

3

，
则f（x）=2sin（2x-

π

6

）-

3

，
因为x∈[0，

5

12

π]，所以2x-

π

6

∈[-

π

6

，

2

3

π]，sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
所以f（x）∈[-1-

3

，2-

3

]；

点评：本题考查三角函数的恒等变换、平面向量数量积的运算，考查三角函数的图象及其性质，知识点较多，综合性较强．