题目内容

已知向量
a
=(-cosα,1+sinα)
b
=(2sin2
α
2
,sinα)

(Ⅰ)若|
a
+
b
|=
3
,求sin2α的值;
(Ⅱ)设
c
=(cosα,2)
,求(
a
+
c
)•
b
的取值范围.
分析:(I)由已知中向量
a
=(-cosα,1+sinα)
b
=(2sin2
α
2
,sinα)
,我们易求出
a
+
b
,由|
a
+
b
|=
3
,我们结合倍角公式,我们易求出sin2α的值;
(II)又由
c
=(cosα,2)
,代入(
a
+
c
)•
b
我们可以求出(
a
+
c
)•
b
的表达式,然后根据三角函数的性质,我们易得(
a
+
c
)•
b
的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵
a
+
b
=(1-2cosa,1+2sina)
|
a
+
b
|=
6+4(sina-cosa)
(3分)
∴sina-cosa=-
3
4
∴sin2a=
7
16
(5分)
(Ⅱ)
a
+
c
=(0,sina+3),
∴(
a
+
c
)=
b
=sin2a+3sina=(sina+
3
2
2-
9
4
(8分)
又sina∈[-1,1],
(
a
+
c
)-
b
的取值范围为[-2,4](10分)
点评:本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算,平面向量的坐标运算,三角函数的倍角公式,三角函数的性质,其中利用平面向量的模的计算公式,及平面向量的数量积运算公式,将已知条件进行转化是解答本题的关键.
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