Question

设函数f(x)=log_a(x-3a)(a＞0，且a≠1)，当点P（x,y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x-2a,-y） 是函数y=g(x)的图象上的点.

（1）求出函数y=g(x)的解析式；

（2）若当x∈［a+2,a+3］时，求v(x)=f(x)-g(x)的最值.

Answer 1

答案：
解析：

解析：（1）设点Q的坐标为(x′,y′)， 则x′=x-2a,y′=-y， 即x=x′+2a,y=-y′. ∵点P（x,y）在函数y=f(x)的图象上， ∴-y′=loga(x′+2a-3a)，得 y′=, 即函数y=g(x)的解析式为 g(x)=. （2）f(x)=loga(x-3a), g(x)=, 两函数在［a+2,a+3］上有意义，则 故0＜a＜1. v(x)=f(x)-g(x)=loga(x-3a)+loga(x-a)=loga(x2-4ax+3a2), 设u(x)=x2-4ax+3a2, ∵0＜a＜1,∴2a＜a+2, ∴u(x)在区间［a+2,a+3］上为增函数， ∴v(x)=loga(x2-4ax+3a2)在区间［a+2,a+3］上为减函数， ∴v(x)的最大值为v(a+2)=loga(4-4a)，最小值为v(a+3)=loga(9-6a).