Question

已知两数列{a_n}，{b_n}（其中b_n＞0，且b_n≠1），满足a1=2，b1=

3

2，

且

an+1= 1 2 (an+ bn an ) bn+1= 1 2 (bn+ 1 bn )

(n∈N∈+)
（I）求证：a_n＞b_n
（II）求证：数列{a_n}的单调递减且an+1＜1+

1

2n

．

Answer 1

证明：（I）先证b_n＞1．∵b_n＞0，b_n≠1，∴bn+1=

1

2

(bn+

1

bn

)＞

1

2

×2

bn× 1 bn

=1，又b1=

3

2

＞1，∴b_n＞1．
再证a_n＞b_n．①a1=2，b1=

3

2

，a1＞b1＞1；
②假设m=k时命题成立，即a_k＞b_k＞1，
则a_k+1-b_k+1=

1

2

(ak+

bk

ak

)-

1

2

(bk+

1

bk

)＞

1

2

(ak+

1

ak

)-

1

2

(bk+

1

bk

)=

1

2

(ak+bk)(1-

1

akbk

)＞0．
∴a_k+1＞b_k+1
所以n+k+1时命题也成立．
综合①②可得a_k＞b_k．
（II）a_n+1-a_n=

1

2

(an+

bn

an

)-an=

1

2

(

bn

an

-an)，
∵b_n＜a_n，∴

bn

an

＜1，a_n＞1，∴a_n+1-a_n＜0．
故数列{a_n}单调递减．
∵an+1=

1

2

(an+

bn

an

)＜

1

2

(an+1)，
∴an+1-1＜

1

2

(an-1)＜…＜

1

2n

(a1-1)．
又a₁-1=1，∴an+1-1＜

1

2n

，
即an+1＜1+

1

2n

．