Question

如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴右端点为A，M(1,0)为线段OA的中点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M任作一条直线与椭圆C相交于两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM＝∠QNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

 (1)由题意知b＝2，又e＝，即＝，

解得a＝2，所以椭圆方程为＋＝1.

(2)假设存在点N(x_0,0)满足题设条件．

当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM＝∠QNM，即x₀∈R；

当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为y＝k(x－1)，代入椭圆方程中化简得：(k²＋2)x²－2k²x＋k²－8＝0.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

∵(x₁－1)(x₂－x₀)＋(x₂－1)(x₁－x₀)

＝2x₁x₂－(1＋x₀)(x₁＋x₂)＋2x₀

＝＋2x₀.

若∠PNM＝∠QNM，则k_PN＋k_QN＝0，

即，整理得k(x₀－4)＝0，∵k∈R，∴x₀＝4.

综上，在x轴上存在定点N(4,0)，使得∠PNM＝∠QNM.