题目内容

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时， $数学公式$ ．
（1）求a₂，a₃，a₄；　　
（2）猜想数列{a_n}的通项a_n并证明你的结论．

解：（1）当n≥2时，a₁=1，由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ；
（2）猜想 $\text{[math]}$
证明：当n≥2时，由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵a₁=1，
∴ $\text{[math]}$ 是以1为首项，2为公差的等差数列
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）当n≥2时，a₁=1，由 $\text{[math]}$ ，代入计算可得a₂，a₃，a₄；
（2）猜想 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，取倒数，从而可得 $\text{[math]}$ 是以1为首项，2为公差的等差数列，进而可求数列{a_n}的通项a_n．
点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，考查等差数列的证明，解题的关键是取倒数，构造等差数列．

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在数列{a_n}中，

an-1+1（n≥2），则数列{a_n}的通项公式为a_n=

在数列{a_n}中，a 1=

，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

}的前n项和为T_n，证明：

在数列{a_n}中，a=

，前n项和S_n=n²a_n，求a_n+1．

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(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

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，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

}的前n项和为T_n，证明：