Question

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，,，点分别为、、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）线面平行的证明主要是走线面平行的判定定理这条路，因此必须在平面内寻找到一条与平行的直线，借助平几知识，这条直线不难找到；（2）在证明垂直关系时，如果几何证明有困难，也可从向量考虑；（3）求二面角的大小，主要是走向量这条路，它有固定步骤：首先求两个面的法向量，其次求法向量的余弦值进而得法向量的夹角，然后根据二面角是锐角还是钝角，决定其大小.

试题解析：（1）证明：连接，是的中点 ，过点，

为的中点，，

又面，面，平面；

（2）在直角中，，，，

棱柱的侧棱与底面垂直，且，以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则，，，，，

，，

，；

（3）依题意得，，，，，，，，

设面的一个法向量为，

由，得，令，得，

同理可得面的一个法向量为，

故二面角的平面角的余弦值为.

考点：空间向量与立体几何.