题目内容
如图，在平面直角坐标系xoy中，设点F(0,p)（p＞0），直线l:y=-p，点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线l1、l2，使l1⊥PF，l2⊥l 
．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线，设切点为A、B，求证：直线AB恒过一定点；
（Ⅲ）对（Ⅱ）求证：当直线MA,MF,MB的斜率存在时，直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列．
解：(Ⅰ)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∴|PQ|=|QF|．
故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：
．
（Ⅱ）设
，两切点为
，
由
得
，求导得
．
∴两条切线方程为
①
②
对于方程①，代入点M(m,-p)得，
，
又
∴
整理得：
同理对方程②有
即x1,x2为方程
的两根
.∴
③
设直线AB的斜率为k，
所以直线AB的方程为
，
展开得：
，
代入③得：
∴直线恒过定点(0.p).
(Ⅲ) 证明：由（Ⅱ）的结论，设（0.p），
，
且有
，
∴
∴
=
又∵
，
所以
即直线MA,MF,MB的斜率倒数成等差数列.
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∴|PQ|=|QF|．
故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：
．（Ⅱ）设
，两切点为， 由
得，求导得．∴两条切线方程为
① ② 对于方程①，代入点M(m,-p)得，
，又
∴整理得：
同理对方程②有
即x1,x2为方程的两根.∴
③ 设直线AB的斜率为k，
所以直线AB的方程为
，展开得：
，代入③得：
∴直线恒过定点(0.p).
(Ⅲ) 证明：由（Ⅱ）的结论，设（0.p），
， 且有，∴
∴
=
又∵
，所以
即直线MA,MF,MB的斜率倒数成等差数列. 
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如图，在直角坐标平面内有一个边长为a、中心在原点O的正六边形ABCDEF，AB∥Ox．直线L：y=kx+t（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记△OMN的面积为S，则函数S=f（t）的奇偶性为（ ）| A、偶函数 | B、奇函数 | C、不是奇函数，也不是偶函数 | D、奇偶性与k有关 |
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