题目内容

对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q使得cn+1＝pcn＋q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“k类数列”．

(Ⅰ)若an＝2n，bn＝3·2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“k类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；

(Ⅱ)证明：若数列{an}是“k类数列”，则数列{an＋an+1}也是“k类数列”；

(Ⅲ)若数列{an}满足a1＝2，an＋an+1＝3t·2n(n∈N*)，t为常数．求数列{an}前2012项的和．并判断{an}是否为“k类数列”，说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)因为则有

　　故数列是“类数列”，对应的实常数分别为；1分

　　因为，则有，．

　　故数列是“类数列”，对应的实常数分别为；3分

　　(Ⅱ)证明：若数列是“类数列”，则存在实常数，

　　使得对于任意都成立，

　　且有对于任意都成立，

　　因此对于任意都成立，

　　故数列也是“类数列”．

　　对应的实常数分别为．6分

　　(Ⅲ)因为则有，，

　　故数列前2012项的和

　　＋＋＋

　　；9分

　　若数列是“类数列”，则存在实常数

　　使得对于任意都成立，

　　且有对于任意都成立，

　　因此对于任意都成立，

　　而，且，

　　则有对于任意都成立，可以得到

　　，

　　当时，，，，经检验满足条件．

　　当时，，，经检验满足条件．

　　因此当且仅当或时，数列是“类数列”．

　　对应的实常数分别为或；13分


练习册系列答案
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对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列{an}是“M类数列”，则数列{an+an+1}也是“M类数列”；
（3）若数列{an}满足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t为常数．求数列{an}前2009项的和．并判断{an}是否为“M类数列”，说明理由；
（4）根据对（2）（3）问题的研究，对数列{an}的相邻两项an、an+1，提出一个条件或结论与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假．
5、对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”．
（I）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？
若是，指出它对应的实常数p&，q，若不是，请说明理由；
（II）若数列{an}满足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t为常数．
（1）求数列{an}前2009项的和；
（2）是否存在实数t，使得数列{an}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由．
对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈R*都成立，我们称数列{cn}是“K类数列”．
（Ⅰ）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，数列{an}，{bn}是否为“K类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{cn}是“K类数列”，则数列{an+an+1}也是“K类数列”；
（Ⅲ）若数列an满足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t为常数．求数列{an}前2012项的和．并判断{an}是否为“K类数列”，说明理由．
（2010•湖北模拟）对于给定数列{cn}，如果存在实常数p、q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”；
（1）若an=2n，数列{an}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p、q，若不是，请说明理由；
（2）数列{an}满足a1=2，an+an+1=3•2n（n∈N*），若数列{an}是“M类数列”，求数列{an}的通项公式；
（3）记数列{an}的前n项之和为Sn，求证：
4
S1S2
+
4
S2S3
+
4
S3S4
+…+
4
SnSn+1
＜
19
42
（n≥3）．
（2012•怀柔区二模）对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“T数列”．
（Ⅰ）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“T数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{an}是“T数列”，则数列{an+an+1}也是“T数列”；
（Ⅲ）若数列{an}满足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t为常数．求数列{an}前2013项的和．

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