Question

（2010•湖北模拟）对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p、q，使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”；
（1）若a_n=2n，数列{a_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p、q，若不是，请说明理由；
（2）数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），若数列{a_n}是“M类数列”，求数列{a_n}的通项公式；
（3）记数列{a_n}的前n项之和为S_n，求证：

4

S1S2

+

4

S2S3

+

4

S3S4

+…+

4

SnSn+1

＜

19

42

（n≥3）．

Answer 1

分析：（1）由a_n=2n，可得a_n+1=a_n+2，根据“M类数列”定义，可得结论；
（2）根据数列{a_n}是“M类数列”，可得存在实常数p、q使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，结合a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），可求数列{a_n}的通项公式；
（3）确定数列{a_n}的前n项之和为S_n，利用放缩法，结合裂项求和，即可得到结论．

解答：（1）解：∵a_n=2n，∴a_n+1=a_n+2，
故数列{a_n}是“M类数列”，对应的实常数p、q的值分别为1、2．（2分）
（2）解：∵数列{a_n}是“M类数列”，
∴存在实常数p、q使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，
∴a_n+2=pa_n+1+q，故（4分）
又an+an+1=3•2n(n∈N*)，∴对于任意n∈N^*都成立，
即对于任意n∈N^*都成立，（6分）
因此p=2，q=0
此时，∴an=2n(n∈N*)（8分）
（3）证明：由（2）知：Sn=2(2n-1)（9分）
当n≥3时，2n-1=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

-1≥

C

0 n

+

C

1 n

+

C

n-1 n

+

C

n n

-1=2n+1，
当且仅当n=3时等号成立，所以S_n≥2（2n+1）（11分）
于是

4

SnSn+1

=

1

(2n-1)(2n+1-1)

＜

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)(n≥3)
因为S₁=2，S₂=6，S₃=14，所以

4

S1S2

+

4

S2S3

+

4

S3S4

+…+

4

SnSn+1

＜

1

3

+

1

21

+

1

2

[(

1

7

-

1

9

)+(

1

9

-

1

11

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

8

21

+

1

2

(

1

7

-

1

2n+3

)＜

19

42

．（13分）

点评：本题考查新定义，考查数列与不等式的结合，考查数列的通项，考查放缩法、裂项法，属于中档题．