Question

如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC₁，AB的中点．
（Ⅰ）求证：CN⊥AB₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AB₁M．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC，所以BB₁⊥CN．
因为AC=BC，N是AB的中点，
所以CN⊥AB．                     
因为AB∩BB₁=B，
所以CN⊥平面AB B₁A₁．            
所以CN⊥AB₁．                     
（Ⅱ）证法一：连接A₁B交AB₁于P．    
因为三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，
所以P是A₁B的中点．
因为M，N分别是CC₁，AB的中点，
所以NP∥CM，且NP=CM，
所以四边形MCNP是平行四边形，
所以CN∥MP．                     
因为CN平面AB₁M，MP平面AB₁M，
所以CN∥平面AB₁M．              
证法二：取BB₁中点P，连接NP，CP． 
因为N，P分别是AB，BB₁的中点，
所以NP∥AB₁．
因为NP平面AB₁M，AB₁平面AB₁M，
所以NP∥平面AB₁M．              
同理 CP∥平面AB₁M．              
因为CP∩NP=P，
所以平面CNP∥平面AB₁M．        
因为CN平面CNP，
所以CN∥平面AB₁M．