Question

要使函数y=1+2^x+4^x·a在(-∞,1)上y＞0恒成立,求a的取值范围.

Answer 1

思路分析:把1+2^x+4^x·a＞0在(-∞,1)上恒成立问题,分离参数后等价转化为a＞-()^x-()^x在(-∞,1)上恒成立,而-()^x-()^x为增函数,其最大值为-,可得a＞-.

解:由1+2^x+4^x·a＞0在x∈(-∞,1)上恒成立,即a＞-=-()^x-()^x在(-∞,1)上恒成立.

又g(x)=-( )^x-()^x在(-∞,1)上的值域为(-∞,- ),∴a＞-.

评述:(1)分离参数构造函数问题是数学中解决问题的通性通法.

(2)恒成立问题可化归为研究函数的最大(或最小)值问题.