Question

要使函数y=1+2^x+a•4^x在（x∈（-∞，1]）有y＞0恒成立，则实数a的取值范围是

（-

3

4

，+∞）

．

Answer 1

分析：使用换元令t=2^x，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at²进行求解．

解答：解：设t=2^x，因为x∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
则原函数等价为y=1+t+at²，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at²＞0，所以a＞

-1-t

t2

=-(

1

t

)2-

1

t

．
设f(t)=-(

1

t

)2-

1

t

，则f(t)=-(

1

t

)2-

1

t

=-(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

，因为0＜t≤2，所以

1

t

≥

1

2

，
所以y=-(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

≤-(

1

2

+

1

2

)2+

1

4

=-

3

4

，所以a＞-

3

4

．
故答案为：（-

3

4

．，+∞）．

点评：本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．