Question

19．若不等式x²+px+q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则不等式$\frac{{x}^{2}+px+q}{{x}^{2}-x+6}$≥0的解集是{x|x≥2或x≤1}．

Answer 1

分析 根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系求出p，q，结合分式不等式的性质进行求解即可．

解答 解：∵不等式x²+px+q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，
∴1，2是方程x²+px+q=0的根，
则1+2=-p，即p=-3，
1×2=q，即q=2，
则不等式$\frac{{x}^{2}+px+q}{{x}^{2}-x+6}$≥0等价为$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}-x+6}$≥0，
∵x²-x+6＞0恒成立，
∴不等式$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}-x+6}$≥0等价为x²-3x+2≥0，
即x≥2或x≤1，
即不等式的解集为{x|x≥2或x≤1}，
故答案为：{x|x≥2或x≤1}．

点评 本题主要考查一元二次不等式与分式不等式的解法，根据条件求出p，q是解决本题的关键．