Question

已知向量

OA

=(k，2)，

OB

=(2，5)，

OC

=(k-1，9)，且

AB

⊥

BC

，则

AB

与

AC

夹角的余弦值为

 

．

Answer 1

分析：根据所给的三个向量，写出要用到的向量的坐标，根据两个向量垂直，得到数量积为0，解出坐标中的k，得到要求夹角余弦的向量，根据夹角公式代入求值，注意多解不要漏掉．

解答：解：∵

OA

=(K，2)，

OB

=(2，5)，

OC

=(K-1，9)
∴

AB

=

OB

-

OA

=（2-K，3），

BC

=

OC

-

OB

=（K-3，4），
∵

AB

⊥

BC

，
∴（2-K）（K-3）+12=0
∴K=6或K=-1，
当K=6时，

AB

=(-4，3)，

AC

=(-1，7)
∴cosθ=

4+21

25 50

=

2

2

；
当k=-1时，

AB

=(3，3)，

AC

=(-1，7)
∴cosθ=

18

18 50

=

3

5

，
综上有两向量夹角的余弦是

2

2

或

3

5

，
故答案为：

2

2

或

3

5

．

点评：通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充．