Question

7．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，A为椭圆上一点，$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，AF₂与y轴交与点M，若   $\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{MA}$，则椭圆离心率的值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

Answer 1

分析 通过$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0可知AF₁⊥AF₂，通过设F₂M=5x，则MA=4x，利用△F₂OM∽△F₂AF₁可知x=$\frac{\sqrt{10}}{15}$c，通过椭圆定义可知F₁A=2a-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c，利用勾股定理可知${F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$=${F}_{1}{A}^{2}$+${F}_{2}{A}^{2}$，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，不妨设点A在第二象限，
∵$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，
∴AF₁⊥AF₂，
∵$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{MA}$，
∴设F₂M=5x，则MA=4x，
∵△F₂OM∽△F₂AF₁，
∴$\frac{{F}_{2}M}{{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{{F}_{2}O}{{F}_{2}A}$，即$\frac{5x}{2c}$=$\frac{c}{9x}$，
化简得：x=$\frac{\sqrt{10}}{15}$c，
∴F₂A=9x=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c，
由椭圆定义可知F₁A=2a-F₂A=2a-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c，
由勾股定理可知：${F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$=${F}_{1}{A}^{2}$+${F}_{2}{A}^{2}$，
即4c²=（2a-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c）²+（$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c）²，
化简得：4c²-$3\sqrt{10}$ac+5a²=0，
∴4e²-$3\sqrt{10}$e+5=0，
解得：e=$\frac{3\sqrt{10}±\sqrt{（3\sqrt{10}）^{2}-4×4×5}}{2×4}$=$\frac{3\sqrt{10}±\sqrt{10}}{8}$，
又∵0＜e＜1，
∴e=$\frac{3\sqrt{10}-\sqrt{10}}{8}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，利用相似三角形及勾股定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．