Question

12．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的单调区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$，且b=3c=3$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用辅助角公式，正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调区间．
（2）由f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$，求得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再结合条件利用S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA，计算求得结果．

解答 解：（1）由已知得函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x-1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
所以f（x）的最小正周期为T=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
由令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（2）由 f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$，得 2sinA=$\sqrt{3}$，即 sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由b=3c=3$\sqrt{3}$，得b=3$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$，
所以由S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，正弦函数的周期性，属于基础题．