Question

圆心在抛物线x²=2y上，与直线2x+2y+3=0相切的圆中，求面积最小的圆的方程．

Answer 1

分析：由题意，设圆心为(a，

1

2

a2)，根据点到直线的距离公式将半径r表示为关于a的函数，利用二次函数的性质算出当a=-1时半径r的最小值等于

2

2

，由此即可得到所求面积最小的圆的方程．

解答：解：∵圆心在抛物线x²=2y上，∴可设圆心为(a，

1

2

a2)，
又∵直线2x+2y+3=0与圆相切，
∴圆心到直线2x+2y+3=0的距离等于半径r，
即r=

|2a+a2+3|

22+22

=

|a2+2a+3|

2 2

=

|(a+1)2+2|

2 2

≥

2

2 2

=

2

2

，
可得当a=-1时，半径r最小，
∴所有的圆中，面积最小圆的半径r=

2

2

，此时圆的圆心坐标为(-1，

1

2

)．
因此，所求圆的方程为(x+1)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．

点评：本题给出圆心在抛物线上的圆，求当圆与定直线相切时圆的方程．着重考查了圆的标准方程、直线与的位置关系、二次函数的性质和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．