Question

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把抛物线和直线方程联立消去y，根据△=0求出b，再根据两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形得出a和b的关系式，求得a．
（2）分别求出L与x轴平行时和L与x轴垂直时的圆的方程，联立可求得两圆的切点，进而推断所求的点T如果存在只能是（0，1）．当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）；当直线L不垂直于x轴设直线L的方程与椭圆方程联立求得证明出TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．
解答：解：（1）由
因直线y=x+b与抛物线y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0∴b=1，
∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，∴
故所求椭圆方程为
（2）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1
由
即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）
事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下．
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点A（x₁，y₁）、


=
=
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．
点评：本题主要考查直线与椭圆的综合问题．常需要把直线与曲线的方程联立，利用韦达定理找到解决问题的突破口．