Question

【题目】如图对称轴为坐标轴，焦点均在轴上的两椭圆，的离心率相同且均为，椭圆过点且其上顶点恰为椭圆的上焦点．是椭圆上异于，的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点．

（1）求椭圆，的标准方程．

（2）证明：．

（3）是否为定值？若为定值．则求出该定值；否则，说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）是定值，.

【解析】

（1）根据离心率以及椭圆过点，可得的方程，再根据的上顶点椭圆的上焦点，即可得的方程；

（2）直线与椭圆方程分别联立，分别利用弦长公式，计算即可得证.

（3）先确定直线的斜率与直线的斜率关系，再联立直线与椭圆方程，利用弦长公式计算与，化简整理即可得结果.

（1）解：因为椭圆，的焦点在轴上，离心率为，所以设椭圆的方程为．

由椭圆过点，得，

解得，所以椭圆的方程为，

所以椭圆的方程为．

（2）证明：由（1）得，设点，，直线的斜率为，则直线的方程为，

联立得，

由根与系数的关系，得．

设点，联立得，

由根与系数的关系，得．

所以，所以，所以，

所以．

（3）解：由（1）得，由（2）得，设直线的斜率为，则直线的方程为．

所以．

由，得，

联立得，

，

．

联立得，

，

．

由，得，

所以，为定值．