Question

【题目】如图，设是椭圆的左焦点，直线：与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且，过点作斜率为直线与椭圆相交于不同的两点 ，

（1）当时，线段的中点为，过作交轴于点，求；

（2）求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用椭圆的性质得出椭圆方程，根据题意得出直线的方程，直线的方程，进而得出，由距离公式得出；

（2）设直线的方程为，当时，，当时，设，直线的方程为，联立，利用韦达定理以及弦长公式，得出，利用三角形面积公式，结合基本不等式，即可得出结论.

（1）∵, ∴，又∵，即

∴∴,

∴椭圆的标准方程为

点的坐标为，点的坐标为

直线的方程为

即

联立可得，设，

则，

所以，

直线的斜率为，直线的方程为

令，解得即

所以

（2）直线的方程为，当时，三角形不存在

当时，设，直线的方程为

联立可得，设

，解得或

，

点到直线的距离

当且仅当，即时（此时适合于△＞0的条件）取等号,

所以当时，直线为时，面积取得最大值为.