题目内容

设函数f（x）=sin（ωx+φ），其中 $数学公式$ ，若 $数学公式$ ，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若A，B，C是△ABC的三个内角，且f（A）=-1，求sinB+sinC的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ +φ= $\text{[math]}$ +kπ，得φ= $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z
∵ $\text{[math]}$ ，∴取k=0，得 $\text{[math]}$ ，…（3分）
∵函数f（x）图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是 $\text{[math]}$ ，
∴周期为T=π，得ω= $\text{[math]}$ =2，得 $\text{[math]}$ ． …（6分）
（2）由f（A）=-1，得 $\text{[math]}$ ，
∵A是△ABC的内角，0＜A＜π，
∴ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ． …（9分）
由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cosB+ $\text{[math]}$ sinB
∴ $\text{[math]}$ ，…（12分）
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
因此，sinB+sinC的取值范围是（ $\text{[math]}$ ，1]…（14分）
分析：（1）根据已知等式化简，得 $\text{[math]}$ ，结合φ的取值范围算出 $\text{[math]}$ ．由对称轴离一个对称中心的最近距离得周期T=π，结合公式得出ω=2，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）根据f（A）=-1，结合（1）的表达式及0＜A＜π，算出 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ．将C= $\text{[math]}$ -B代入并且化简整理，得sinB+sinC= $\text{[math]}$ ，结合三角函数的图象与性质，可得sinB+sinC的取值范围．
点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）满足的部分条件，要求确定其解析式并求函数值的取值范围，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．