Question

设函数f（x）=sin²x-sin（2x-

π

2

）．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=3，f（

C

2

）=

1

4

，若sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函数以及诱导公式，化简函数的表达式，然后求出函数的最值．
（2）利用f（

C

2

）=

1

4

，结合（1）求出C的大小，利用正弦定理求出a，b的方程，通过余弦定理联立方程组，求出a，即可求解三角形的面积．

解答：解：（1）f（x）=sin²x-sin（2x-

π

2

）
=

1-cos2x

2

+cos2x=

1

2

cos2x+

1

2

∴当cos2x=1时，函数取得最大值1；
当cos2x=-1时，函数取得最小值0．
（2）∵f(

C

2

)=

1

4

，∴

1

2

cosC+

1

2

=

1

4

，即cosC=-

1

2

．
又∵C∈（0，π），
∴C=

2π

3

．
∵sinB=2sinA，
∴b=2a．
∵c=3，
∴9=a2+4a2-2a×2a×cos

2π

3

∴a2=

9

7

∴S△ABC=

1

2

absinC=a2sinC=

9 3

14

．
△ABC的面积：

9 3

14

．

点评：本题考查二倍角的三角函数，余弦定理、正弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力．