Question

【题目】如图，圆锥OO1的体积为π．设它的底面半径为x，侧面积为S．

（1）试写出S关于x的函数关系式；

（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？

Answer 1

【答案】(1) (2) 当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小．

【解析】试题分析：（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l，根据体积为π得π，解得h，进而得l＝，从而得；

（2）令f(x)＝，求导，利用函数的单调性求最值即可.

试题解析：

（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．

因为圆锥的体积为π，即πx2h＝π，所以h＝．

因此 l＝＝，

从而S＝πxl＝πx＝π，(x＞0)．

（2）令f(x)＝x4＋，则f ′(x)＝4x3－，(x＞0)．

由f ′(x)＝0，解得x＝．

当0＜x＜时，f ′(x)＜0，即函数f(x)在区间(0，)上单调递减；

当x＞时，f ′(x)＞0，即函数f(x)在区间(，＋∞)上单调递增．

所以当x＝时，f(x)取得极小值也是最小值．

答：当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小．