Question

已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且

BF

=2

FD

，则C的离心率为

 

．

Answer 1

分析：由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出

c

a

 的值．

解答：解：如图，|BF|=

b2+c2

=a，
作DD₁⊥y轴于点D₁，则由

BF

=2

FD

，得

|OF|

|DD1|

=

|BF|

|BD|

=

2

3

，所以，|DD1|=

3

2

|OF|=

3

2

c，
即xD=

3c

2

，由椭圆的第二定义得|FD|=e(

a2

c

-

3c

2

)=a-

3c2

2a

又由|BF|=2|FD|，得a=2a-

3c2

a

，a²=3c²，解得e=

c

a

=

3

3

，
故答案为：

3

3

．

点评：本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．