Question

如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点F₁的连线MF₁与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）F₂是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F₁CF₂≤；
（3）过F₁且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF₂Q的面积是20，求此时椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可表示出M的坐标，进而表示出直线OM的斜率和AB的斜率利用二者相等求得b和c的关系进而求得a和c的关系，则离心率可得．
（2）利用椭圆的定义可表示出|F₁C|+|F₂C|，进而利用余弦定理表示出cos∠F₁CF₂，利用基本不等式可知求得cos∠F₁CF₂的范围进而求得∠F₁CF₂的范围．
（3）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程消去x整理后利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁•y₂，进而求得|y₁-y₂|代入三角形面积公式求得求得c，进而可分别求得a和b，则椭圆的方程可得．
解答：解：（1）易得，∴，∴．
（2）证明：由椭圆定义得：=．，
∴，∴．
（3）解：设直线PQ的方程为（x-c），即y=-．
代入椭圆方程消去x得：，
整理得：，∴．
∴，
因此a²=50，b²=25，所以椭圆方程为．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题和计算能力．