Question

如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点F₁的连线MF₁与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过F₁且与AB垂直的直线交椭圆于P，Q，若△PF₂Q的面积是，求此时椭圆的标准方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知M（c，），，，故，由此能求出椭圆的离心率．
（2）设直线PQ的方程为：y=-，代入椭圆方程，消去x得：，故，，所以，由△PF₂Q的面积是，能求出椭圆的标准方程．
解答：解：（1）∵椭圆上的点M与椭圆右焦点F₁的连线MF₁与x轴垂直，
且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，
∴M（c，），，，
∴，
∴b=c，∴，
∴．
（2）设直线PQ的方程为：y=-，
即y=-，
代入椭圆方程，消去x得：，
整理，得：，
∴，，
，
∴===20，
∴c²=25，∴a²=50，b²=25，
所以椭圆方程为：．
点评：本题考查椭圆的离心率和标准方程的求法，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．