Question

18．已知x＞0，y＞0，x+y=1，则$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y+2}$的最小值为1．

Answer 1

分析 易得x+1＞0，y+2＞0，且（x+1）+（y+2）=4，整体代入可得$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y+2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y+2}$）[（x+1）+（y+2）]=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{x+1}{y+2}$+$\frac{y+2}{x+1}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴x+1＞0，y+2＞0，且（x+1）+（y+2）=4，
∴$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y+2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y+2}$）[（x+1）+（y+2）]
=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{x+1}{y+2}$+$\frac{y+2}{x+1}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{x+1}{y+2}•\frac{y+2}{x+1}}$）=1
当且仅当+$\frac{x+1}{y+2}$=$\frac{y+2}{x+1}$即x=1且y=0时取最小值1
故答案为：1

点评 本题考查基本不等式，变形已知式子并用整体法是解决问题的关键，属中档题．