Question

设点P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与圆x²+y²=3b²的一个交点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且|PF₁|=3|PF₂|，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  10

  4

• B．

  3

  5

• C．

  7

  4

• D．

  14

  4

Answer 1

分析：先由椭圆的定义和已知求出两个焦半径的长，利用余弦定理得关于a、c的等式，然后求得离心率．

解答：解：依据椭圆的定义：|PF₁|+|PF₂|=2a，又∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=

3

2

a，|PF₂|=

1

2

a，
∵圆x²+y²=3b²的半径r=

3

b，
∴三角形F₁PF₂中有余弦定理可得：(

a

2

)2=(

3

b)2+c2-2

3

cbcosθ，
(

3a

2

)2=(

3

b)2+c2+2

3

cbcosθ，
可得7a²=8c²，得e=

14

4

．
故选 D．

点评：本题考查了椭圆的定义，椭圆的几何性质，余弦定理的应用，离心率的求法，考查计算能力．