Question

设点p是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，则该椭圆的离心率是

1

2

．

Answer 1

分析：设△PF₁F₂的内切圆半径为r，根据内心的性质，结合三角形面积公式将S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2化简整理，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．由此结合椭圆离心率公式，即可得到该椭圆的离心率．

解答：解：设△PF₁F₂的内切圆半径为r，则
S_△IPF1=

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|•r，S_△IF1F2=

1

2

|F₁F₂|•r，
∵S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，
∴

1

2

|PF₁|•r+

1

2

|PF₂|•r=|F₁F₂|•r，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

2c

2a

=

|F1F2|

|PF1|+|PF2|

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题已知椭圆的焦点三角形的一个面积关系式，求椭圆的离心率．着重考查了三角形内切圆的性质、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．