Question

已知菱形ABCD中，对角线AC=

3

，BD=1，P是AD边上的动点，则

PB

•

PC

的最小值为

1

2

．

Answer 1

分析：分别以对角线BD，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，设P（x，y），由

AP

∥

AD

可得

1

2

y+

3

4

-

3

2

x=0，代入

PB

•

PC

=(-

1

2

-x，-y)•（-x，

3

2

-y）=-

1

2

x+x2-

3

2

y+y2=4x2-4x+

3

2

根据二次函数的性质可求

解答：解：分别以对角线BD，AC为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系
∵AC=

3

，BD=1，AC⊥BD
∴A（0，-

3

2

），B（-

1

2

，0），C（0，

3

2

），D（

1

2

，0），

AD

=(

1

2

，

3

2

)
∵P是AD边上的动点，设P（x，y），

AP

=(x，y+

3

2

)，
∵

AP

∥

AD

∴

1

2

y+

3

4

-

3

2

x=0
∵

PC

=(-x，

3

2

-y )，

PB

=(-

1

2

-x，-y)
∴

PB

•

PC

=(-

1

2

-x，-y)•（-x，

3

2

-y）
=-

1

2

x+x2-

3

2

y+y2=4x2-4x+

3

2

根据二次函数的性质可知，当x=

1

2

时，值最小为

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于基础试题