Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是

3

2

，则△ABC的面积等于（　　）

• A、15

  3

• B、

  15 3

  2

• C、

  15 3

  4

• D、

  15 3

  8

Answer 1

分析：由已知的a比b长2，b比c长2判断得到a为最大边，根据大边对大角可得A为最大角，进而得到sinA的值为

3

2

，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，可得cosA的值，然后用c表示出a和b，根据余弦定理表示出a²，把表示出的a，b及cosA的值代入，可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，从而确定出a与b的值，然后再由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答：解：由题意a-b=2，且b-c=2，
得到a＞b＞c，可知A＞B＞C，即A为最大角，
所以sinA=

3

2

，所以A=60°或120°，
又A为最大角，所以A=120°，即cosA=-

1

2

，
由a-b=2，b-c=2变形得：a=c+4，b=c+2，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：
（c+4）²=（c+2）²+c²+c（c+2），
化简得：（c-3）（c+2）=0，
解得：c=3或c=-2（舍去），
所以a=7，b=5，又sinA=

3

2

，
则△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

15 3

4

．
故选C

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，根据三角形的边角关系得出A为最大角是本题的突破点，熟练掌握定理及公式，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．同时要理解A不能为60°的理由：因为三个角互不相等，若A为60°，B和C都比60°小，则三个角之和小于180°，与三角形的内角和定理矛盾，故A不为60°，A应为120°．