Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄=5，S₉=54．
（1）求数列{a_n}的通项公式与S_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$$\frac{2}{n（n+3）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₄=5，S₉=54，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=5}\\{9{a}_{1}+\frac{9×8}{2}d=54}\end{array}\right.$，d=1，a₁=2．
∴a_n=2+n-1=n+1，
S_n=$\frac{n（n+3）}{2}$．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$$\frac{2}{n（n+3）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}$，
数列{b_n}的前n项和=$（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{6}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}）$
=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+1}-$$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$
=$\frac{11}{6}$-$\frac{1}{n+1}-$$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．