Question

10．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 法一、由已知求出$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-1$，然后求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$，开方后得答案；
法二、由题意画出图形，然后求解直角三角形得答案．

解答 解：法一、由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，得
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，即$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-1$，
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3$，
则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$；
法二、由题意画出图形如图，

设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，
则图中A、B两点的距离即为|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．
连接AB后解直角三角形可得|AB|=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是明确$（\overrightarrow{a}）^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．