若一直线与抛物线y2＝2px交于A.B两点.且OA⊥OB.点O在直线AB上的射影为D(2.1).求抛物线方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

若一直线与抛物线y²＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D(2，1)，求抛物线方程．

答案：
解析：

　　解：直线AB方程为：2x＋y－5＝0，

　　与y²＝2px(p＞0)联立消y得：4x²－2(10＋p)x＋25＝0

　　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁x₂＝，y₁y₂＝＝－5p．

　　由OA⊥OB得x₁x₂＋y₁y₂＝0．故－5p＝0，解得p＝，

　　所求抛物线的方程为：y²＝．

　　分析：先根据已知条件求出直线方程，然后根据垂直关系求得抛物线方程．

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下列是有关直线与圆锥曲线的命题：
①过点（2，4）作直线与抛物线y²=8x有且只有一个公共点，这样的直线有2条；
②过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有且仅有两条；
③过点（3，1）作直线与双曲线

-y2=1有且只有一个公共点，这样的直线有3条；
④过双曲线x2-

=1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则满足条件的直线l有3条；
⑤已知双曲线x2-

=1和点A（1，1），过点A能作一条直线l，使它与双曲线交于P，Q两点，且点A恰为线段PQ的中点．
其中说法正确的序号有

．（请写出所有正确的序号）

若一直线与抛物线y²＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D(2，1)，求抛物线方程．

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