Question

若一直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D（2，1），求抛物线方程．

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），根据OD斜率为且OD⊥AB可知AB斜率为-2，进而可得直线AB的方程．将直线方程与抛物线方程联立根据韦达定理可求得x₁x₂和y₁y₂的关于p的表达式，最后根据OA⊥OB可知x₁x₂+y₁y₂=0，把x₁x₂和y₁y₂代入即可求得p，进而得到抛物线方程．
解答：解：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由于OD斜率为，OD⊥AB
则AB斜率为-2，
故直线AB方程为2x+y-5=0…①
将（1）代入抛物线方程得
y²+py-5p=0
则y₁y₂=-5p
因（y₁）²=2px₁；（y₂）²=2px₂
则（y₁y₂）²=4（p²）x₁x₂
故x₁x₂=
因OA⊥OB
则x₁x₂+y₁y₂=0
p=
∴抛物线方程：y²=x
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．