Question

（本题满分10分）如图，在直三棱柱中，，，，动点满足，当时，.

（1）求棱的长；

（2）若二面角的大小为，求的值.．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用空间向量化简线线垂直条件，就是计算其数量积为零：设，当时，有解得，即棱的长为.（Ⅱ）先求平面平面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，再根据两法向量夹角与二面角关系列等量关系：

，结合，解得. 、

试题解析：（1）以点为坐标原点，分别为轴，

建立空间直角坐标系，

设，则，，，

所以，，， 2分

当时，有

解得，即棱的长为. 4分

（2）设平面的一个法向量为，

则由，得，即，

令，则，所以平面的一个法向量为， 6分

又平面与轴垂直，所以平面的一个法向量为，

因二面角的平面角的大小为，

所以，结合，解得. 10分

考点：利用空间向量证明研究二面角