Question

用数学归纳法证明：

tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan（n－1）α·tanα=－n（n≥2，n∈N^*）.

Answer 1

证明：（1）当n=2时，右边=－2=－2==tanα·tan2α=左边.

∴等式成立.

（2）假设当n=k时，等式成立，即有

tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan（k－1）α·tankα=－2.

当n=k+1时，

tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan（k－1）α·tankα+tan kα·tan（k+1）α

=－k+tankα·tan（k+1）α

=－（k+1）+1+tankα·tan（k+1）α

=－（k+1）+

=－（k+1）.

即n=k+1时，等式成立.

由（1）（2）可知，对一切n∈N^*且n≥2等式都成立.