Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）讨论函数的零点的个数。

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）将代入函数的表达式，求出f′（x），解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到最小值，即可证明；
（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间，得到函数的极值，进而求出函数的零点的个数．

（1）证明：当时，，则.

由.得.

当时，；当时，，

所以函数在区间内是减函数.在区间内是增函数，

所以是的极小值点，也是最小值点.且，

故当时.恒成立.

（2）解：据题意，得.

①当时，恒成立.则函数在上是减函数。

又，所以函数有且只有一个零点.

②当时.由，得.

当时，；

当时，，

所以在区间内是减函数，在区间内是增函数.

所以是函数的极小值点，也是最小值点，

即.

令，

则，

当时，；

当时，；

当时，，

所以函数在区间内是增函数，在区间内是减函数，

从而是函数的极大值点.也是最大值点，所以，

即（当且仅当时取等号）

当，即时，函数只有一个零点

当，即，且时，分和两种情况讨论：

（i）当时，，因为，所以在区间内有一个零点；又，因此有两个零点.

（ii）当时，；

由（1），得.即，亦即.

令.则得，即，

所以，

所以在区间内有一个等点.

又，

因此函数有两个零点.

由（i）和（ii），得当或时，函数有两个零点.

综上，当或时，函数只有一个零点；

当.且时，函数有两个零点。