Question

【题目】数列的前项和为， 已知，且， ， 三个数依次成等差数列.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若数列满足，设是其前项和，求证： .

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）先由和项与通项关系得项之间递推关系式，再依次求，根据等差中项性质列方程，解得的值；（2）将项之间递推关系式进行整理变形为,根据等比数列定义以及通项公式求得，即得数列的通项公式；（3）先化简得，再从第三项起放缩并利用裂项相消法求和得.

试题解析：（Ⅰ）由已知，得

当时， ， ①

当时， ， ②

又∵成等差数列，∴ ③

将①、②代入③解得：

（Ⅱ）由得：

∴ 即

∴,

∴是以为首项，2为公比的等比数列

∴ ，

∴.

（Ⅲ）由得：

①当时， ，

②当时， ，

③当， 时， ，

∴

.

综上所述，当时， .