Question

【题目】

如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA=2,E、E分别是棱AD、AA的中点．

（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE//平面FCC；

（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析．

（2）证明见解析．

【解析】

证明：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1．

因为AB=4，CD=2，且AB//CD，所以CD//A1F1，且CD=A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D．

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，

所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC．

（2）连接AC，在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以CC1⊥AC，因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，

F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，

，△ACF为等腰三角形，且，

所以AC⊥BC，又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，

所以AC⊥平面BB1C1C，而平面D1AC，

所以平面D1AC⊥平面BB1C1C．