Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大小；
（Ⅲ）求点C₁到平面AB₁M的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）证明线面平行，通常利用线面平行的判定定理，这里我们可以利用中位线的性质，得到线线平行；
（Ⅱ）先作出二面角的平面角，再进行求解，过点M作MN⊥AB于N，连接ON，可证∠MON是二面角B-AB₁-M的平面角，在直角△OMN中，可求二面角B-AB₁-M的大小；
（Ⅲ）设点C₁到平面AB₁M的距离为d，利用=，可求点C₁到平面AB₁M的距离．
解答：（I）证明：连接A₁B，交AB₁于O，连接OM
因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以O是A₁B的中点
因为O，M分别是A₁B和BC的中点，所以OM∥A₁C
因为A₁C?面AB₁M，OM?面AB₁M
所以A₁C∥面AB₁M
（Ⅱ）解：过点M作MN⊥AB于N，连接ON
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴MN⊥平面ABB₁A₁，可知ON是OM在平面ABB₁A₁内的射影
又O是A₁B的中点，则OM⊥A₁B，∴AB₁⊥ON
故∠MON是二面角B-AB₁-M的平面角
∵CA=2，∴，AB₁=2
∴
在直角△OMN中，
∴二面角B-AB₁-M的大小为30°；
（Ⅲ）解：设点C₁到平面AB₁M的距离为d，由=得
．
∴
∴点C₁到平面AB₁M的距离为
点评：证明线面平行，通常运用线面平行的判定定理，求面面角遵循：作证求的步骤，利用等体积，可解决点到面的距离问题．