Question

5．集合M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意a，b＞0，都有f（a）＞0，f（b）＞0，且f（a）+f（b）＜f（a+b）．
（1）试判断函数f（x）=2^x-1是否属于集合M？
（2）证明：集合M中的函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）a＞0，b＞0时，容易得出f（a）＞0，f（b）＞0，然后判断f（a）+f（b）＜f（a+b）是否成立，可作差，提取公因式，便可得出f（a）+f（b）-f（a+b）=（2^a-1）（1-2^b）＜0，这样便可得出f（a）+f（b）＜f（a+b），从而得出该函数属于集合M；
（2）已知f（x）∈M，可根据增函数的定义来证明f（x）在（0，+∞）上是增函数：设任意的x₁＞x₂＞0，这样便可设x₁=x₂+x₀，x₀＞0，然后作差，根据集合M中的函数所满足的条件即可证明f（x₁）＞f（x₂），从而得出f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解答 解：（1）任意的a，b＞0，都有f（a）=2^a-1＞0，f（b）=2^b-1＞0；
f（a）+f（b）-f（a+b）=2^a-1+2^b-1-2^a+b+1=2^a-1+2^b-2^a+b=（2^a-1）（1-2^b）；
∵a＞0，b＞0；
∴2^a-1＞0，1-2^b＜0；
∴f（a）+f（b）＜f（a+b）；
∴f（x）=2^x-1属于集合M；
（2）证明：设f（x）∈M，设x₁＞x₂＞0，则存在x₀使x₁=x₂+x₀；
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₂+x₀）-f（x₂）＞f（x₂）+f（x₀）-f（x₂）=f（x₀）＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评 考查指数函数的单调性，作差法比较两个数的大小，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明函数单调性的方法，作差法比较f（x₁）与f（x₂），作差之后一般要提取公因式，从而判断差的符号，以及对于集合M中函数所满足条件的运用．