Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（2）求二面角A-BC₁-B₁的余弦值；
（3）若M，N分别为直线AA₁，B₁C上动点，求MN的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用点到平面的距离公式求距离．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．
（3）利用向量法求线段的长度．
解答：解：（1）连接AO，因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，
得AO⊥BC，，在△AOA₁中，A₁O=2，
在△BOA₁中，，则．又S_△CAB=2．
设点C到平面A₁ABB₁的距离为h，
则由得，=．从而．…（4分）
（2）如图所示，分别以OA，OB，OA₁所在的直线 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（0，-2，0），A₁（0.0，2），B（0，2，0），B₁（-1，2，2），C₁（-1，-2，2）．
设平面BCC₁B₁的法向量，
又，．
由，得，
令z=1，得x=2，y=0，即．
设平面ABC₁的法向量，又，．
由，得，令b=1，得a=2，c=3，即．
所以，…（7分）
由图形观察可知，二面角A-BC₁-B₁为钝角，
所以二面角A-BC₁-B₁的余弦值是．…（9分）
（3）方法1．在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，因为AA₁∥BB₁，得OE⊥BB₁．
因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，
得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA₁O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB₁C₁C．从而OE⊥B₁C
在△AOA₁中，为异面直线AA₁，B₁C的距离，即为MN的最小值．…（14分）
方法2．设向量，且
∵，．
∴．
令z₁=1，得x₁=2，y₁=0，即．
∵．
所以异面直线AA₁，B₁C的距离，即为MN的最小值．…（14分）
点评：本题主要考查利用向量法求二面角的大小和线段长度问题，要求熟练掌握相关的定理和公式．