题目内容

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
1
8
的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过
1
2
，且他直到参加第二次考核才合格的概率为
9
32
．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p．；
（2）求小李参加考核的次数ξ的分布列和数学期望Eξ．
分析：（1）根据题意写出关于概率的方程，解方程即可得到要求的结果，根据条件中对于概率的要求，舍去不合题意的．
（2）根据题意得到变量的可能取值，由（1）的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为
5
8
，
3
4
，
7
8
，1，结合变量对应的事件写出分布列和期望．
解答：解：（1）由题意，得(1-p1)(p1+
1
8
)=
9
32
，p1=
1
4
或
5
8
．
因为p1＞
1
2
，所以p1=
5
8
，即小李第一次参加考核就合格的概率p1=
5
8
．                
（2）由（1）的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为
5
8
，
3
4
，
7
8
，1，
所以，P(ξ=1)=
5
8
，P(ξ=2)=
9
32
，P(ξ=3)=(1-
5
8
)(1-
3
4
)×
7
8
=
21
256
P(ξ=4)=(1-
5
8
)(1-
3
4
)(1-
7
8
)×1=
3
256

所求分布列为：
ξ 1 2 3 4
P
5
8
9
32
21
256
3
256
由上可知，Eξ=1×
5
8
+2×
9
32
+3×
21
256
+4×
3
256
=
379
256
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是在第一问做出要用的概率，本题是一个必出现在高考卷中的题目类型．
练习册系列答案
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某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
1
8
的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过
1
2
，且他直到第二次考核才合格的概率为
9
32
．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P1；
（2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．
随着现代社会的发展，拥有汽车的家庭越来越多，交通安全显得尤为重要，考取汽车驾驶执照要求也越来越高．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格，不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
1
7
的等差数列，且他参加第一次考核合格的概率大于
1
2
，他直到参加第二次考核才合格的概率为
15
49
．（1）求小明参加第一次考核就合格的概率；（2）求小明参加考核的次数ξ的分布列和数学期望．
某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核，若小张参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
1
8
的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过
1
2
，且他直到参加第二次考核才合格的概率为
9
32

（I）求小张第一次参加考核就合格的概率P1；
（II）求小张参加考核至多3次就合格的概率．
某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：学员必须按顺序从第一次开始参加考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
1
8
的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过
1
2
，且他直到参加第二次考核才合格的概率为
9
32
．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P1；
（2）小李第四次参加考核的概率．

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